Quand quelqu’un compte en utilisant tous ses doigts ET orteils, il peut aller jusqu’à 20 (deux fois mieux que 10) ! D’où le comptage ‘vicésimal’ (= ayant vingt pour unité de mesure ; système vigésimal est aussi correct) : on compte alors par paquet de vingt : vingt-dix (30), deux vingts (40), deux vingt-dix (50), trois vingts (60), trois vingt-dix (70), quatre vingts (80), quatre vingt dix (90). On trouve ce système chez plusieurs peuples préhistoriques et encore chez les Mayas et Aztèques, les Celtes (en usage aujourd’hui encore chez les Danois, les Basques…). Au Moyen-Âge, ce système par 20 est le principal à être utilisé dans plusieurs régions de la future Nation française (une trace = l’hôpital des Quinze-Vingts à Paris, fondé au XIIIe siècle pour accueillir 300 aveugles = 15 x 20).
À la fin du Moyen-Âge, les échanges et commerces internationaux augmentent en flèche. Les marchands italiens, les espagnols aussi, fonctionnent dans le système décimal (comptage de dix en dix), au point que le lexique décimal (trente, quarante, cinquante, soixante, septante, octante, nonante ; logique latine) supplante le système vicésimal.
Au tout début de l’Académie française (fin du XVIIe siècle), deux de ses premiers membres, les Sieurs dénommés Vaugelas et Ménage (dépeint par Molière comme un plagiaire et un pédant) ont insisté pour qu’en France, on dise soixante-dix, quatre-vingts et quatre-vingt-dix et non septante, octante et nonante. On se serait dit dans les papotes des pap-potes (potes-mouches à caca tournant autour du roi-soleil) que Louis XIV mal à l’aise de vieillir préférait qu’on parle de l’âge en termes de soixante-dix plutôt que septante (où on entend le 7 de la mortelle décennie). Quoi qu’il en soit, voilà que tous les pédants de la Cour royale, pour briller de culture poudrée, au lieu des trois formes décimales, se sont mis à adopter ces trois exceptions ‘vicésimales’, qui furent aussi retenues dans les premiers dictionnaires en train d’apparaître…
Et, quelques générations plus tard, les Parisiens, suivis par toute la France, se mirent à railler les « septante, octante/huitante et nonante » des voisins francophones à accent (bien sûr, ce sont eux qui ont un accent) de la Suisse romande. Spécialistes du compromis, voilà que les petits Belges & Luxembourgeois ont mixé : « septante, quatre-vingts et nonante », sans échapper à l’accent, bien sûr ! Quant aux pays du monde colonisés par la grande France, ils se sont bien sûr pliés à ces 3 fadaises vicésimales.
Et bien, sachez, mes bons Messieurs de la grande France qui continuez à nous railler avec nos septante (bien pratiques pourtant quand on transcrit au vol un numéro de téléphone dicté) que
1) « septante, octante et nonante » ont malgré tout été conservées dans toutes les éditions du Dictionnaire de l’Académie française, n’en déplaise aux poudrés fardés de la Cour de Versailles, qui cherchèrent à péter plus haut que les Britanniques levant le petit doigt lorsqu’ils tiennent leur cup of tea…
2) Certaines régions de France ont résisté aux 3 fadaises vicésimales : régions de l’Est et du Midi de la France, Acadie au Canada…
3) Last but not least, au sortir du traumatisme guerrier, en 1945, les Instructions officielles de la République française, toujours en vigueur, ont conseillé l’emploi des trois formes décimales et de laisser là les trois formes vicésimales, dans le but de — dixit la note officielle — « faciliter l’apprentissage du calcul ».
Qu’on se le dise !…

Vaugelas, dans ses Remarques sur la langue française, 1647,
préconise l’usage des soixante-dix, quatre-vingts, quatre-vingt-dix
car plus faciles pour le calcul mental !
Rappel des accords grammaticaux (repris de https://www.caminteresse.fr/culture/pourquoi-les-francais-disent-quatre-vingts-et-pas-huitante-comme-en-suisse-11165971/) :
L’accord de « quatre-vingts » suit une règle grammaticale précise qui remonte à la fin du XVIIe siècle. Le mot « vingt » prend un « s » uniquement lorsqu’il est multiplié (comme dans « quatre-vingts ») et qu’il n’est pas suivi d’un autre adjectif numéral. Ainsi, on écrira « quatre-vingts personnes », « quatre-vingts euros », car dans ces cas, « vingt » est multiplié par quatre et n’est pas suivi d’un autre nombre. En revanche, dès qu’un autre nombre suit « quatre-vingt », le « s » disparaît : « quatre-vingt-trois », « quatre-vingt-dix », « quatre-vingt-quinze ».
Cette règle s’applique également devant les noms « million », « milliard » et « millier » qui, contrairement à ce qu’on pourrait penser, ne sont pas des adjectifs numéraux mais des noms communs. On écrira donc « quatre-vingts millions d’euros », « quatre-vingts milliards de dollars ».
Une exception notable concerne l’utilisation de « quatre-vingt » comme adjectif ordinal, notamment dans les dates ou les numéros de page. Dans ce cas, on n’ajoute pas de « s » : « page quatre-vingt », « l’année mille neuf cent quatre-vingt », « les années quatre-vingt ». Cette règle peut sembler complexe, mais elle reflète l’évolution historique de notre système de numération, qui mêle les bases décimale et vigésimale héritées de différentes influences linguistiques.
Le mot « vingt » utilisé seul suit des règles d’accord bien précises. En règle générale, « vingt » reste invariable lorsqu’il est employé seul pour désigner le nombre 20 (exemple : « vingt euros », « vingt personnes »). Il ne prend un « s » que dans deux cas spécifiques : lorsqu’il est multiplié par un nombre et qu’il n’est pas suivi d’un autre adjectif numéral. Par exemple, on écrira « quatre-vingts ».
En revanche, « vingt » reste invariable lorsqu’il est suivi d’un autre nombre, comme dans « vingt-deux », « vingt-trois », etc. Cette règle s’applique également lorsque « vingt » est utilisé comme adjectif ordinal pour indiquer un rang ou une position (exemple : « le vingtième chapitre », « la vingt et unième page »). Dans les dates ou les années, « vingt » reste également invariable (« l’an vingt »).